अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ का समाकलन गुणक (integrating factor) है

मान लीजिए कि $y=y(t)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dt}+\alpha y=\gamma e^{-\beta t}$ का एक हल है,जहाँ $\alpha > 0, \beta > 0$ और $\gamma > 0$ है। तब $\lim_{t \rightarrow \infty} y(t)$ है:

यदि $x \log x \frac{dy}{dx} + y = \log x^2$ और $y(e) = 0$ है,तो $y(e^2) = $

यदि $\cos x \frac{dy}{dx} = y \sin x - 1$, जहाँ $x \neq (2n+1) \frac{\pi}{2}, n \in Z$, वक्र $y = f(x)$ के संगत अवकल समीकरण है और $f(0) = 1$ है, तो $f(x) =$

यदि $y=f(x)$ अवकल समीकरण $(1+\cos^2 x) f'(x) - f(x) \sin 2x = 4 \sin 2x$ का हल है और $f(0)=0$ है, तो $f(\frac{\pi}{3})=$

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(x^2 \sin y^2 + 1)}$ का हल ज्ञात कीजिए,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।