लैन्थेनॉइड संकुचन इस तथ्य के लिए जिम्मेदार है कि

जब अक्षों को $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाया जाता है,तो $x^2+6xy+8y^2=10$ का रूपांतरित समीकरण क्या होगा?

$\frac{1-2x-x^2}{e^{-x}}$ के विस्तार में $x^k$ का गुणांक क्या है?

मान लीजिए कि $f$ एक शून्येतर वास्तविक मान वाला सतत फलन है जो सभी $x, y \in R$ के लिए $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ को संतुष्ट करता है। यदि $f(2)=9$ है,तो $f(6)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक शुद्ध $Si$ क्रिस्टल में $5 \times 10^{28} \text{ atoms } m^{-3}$ हैं। इसे $1 \text{ ppm}$ सांद्रता वाले पेंटावेलेंट $As$ के साथ डोप किया जाता है। इलेक्ट्रॉनों और होल्स की संख्या की गणना करें। दिया गया है कि $n_{i} = 1.5 \times 10^{16} \text{ m}^{-3}$ है।

पूर्ण आयनीकरण मानते हुए,$0.1 \ M \ HCl$ का $pH$ $1$ है। समान $pH$ वाले $H_2SO_4$ की मोलरता क्या होगी ($M$ में)?