वक्र x=2(cos 2t + t sin 2t), y=4(sin 2t - t c | vedclass

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Question

(B) दिया गया वक्र $x = 2(\cos 2t + t \sin 2t)$ और $y = 4(\sin 2t - t \cos 2t)$ है।सबसे पहले, अवकलज $\frac{dx}{dt}$ और $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करें:$\fra

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$4 \sqrt{1+\pi^2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया वक्र $x = 2(\cos 2t + t \sin 2t)$ और $y = 4(\sin 2t - t \cos 2t)$ है।सबसे पहले, अवकलज $\frac{dx}{dt}$ और $\frac{dy}{dt}$ ज्ञात करें:$\frac{dx}{dt} = 2(-2 \sin 2t + \sin 2t + 2t \cos 2t) = 2(2t \cos 2t - \sin 2t)$.$\frac{dy}{dt} = 4(2 \cos 2t - \cos 2t + 2t \sin 2t) = 4(\cos 2t + 2t \sin 2t)$.$t = \frac{\pi}{4}$ पर:$\frac{dx}{dt} = 2(2(\frac{\pi}{4}) \cos \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) = 2(0 - 1) = -2$.$\frac{dy}{dt} = 4(\cos \frac{\pi}{2} + 2(\frac{\pi}{4}) \sin \frac{\pi}{2}) = 4(0 + \frac{\pi}{2}) = 2\pi$.अतः, स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2\pi}{-2} = -\pi$ है।अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{dy/dx} = \frac{1}{\pi}$ है।$t = \frac{\pi}{4}$ पर, $y = 4(\sin \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{2}) = 4(1 - 0) = 4$.अभिलंब की लंबाई $|y| \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = |4| \sqrt{1 + (-\pi)^2} = 4 \sqrt{1 + \pi^2}$ है।

वक्र $x=2(\cos 2t + t \sin 2t)$, $y=4(\sin 2t - t \cos 2t)$ पर $t=\frac{\pi}{4}$ पर खींचे गए अभिलंब की लंबाई है

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