रेखा x = 8 दीर्घवृत्त E: frac{x^2}{a^2} + fra | vedclass

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Question

(B) दी गई नियता $x = \frac{a}{e} = 8$ और नाभि $(ae, 0) = (2, 0)$ है।इनसे,$ae = 2$ और $\frac{a}{e} = 8$ प्राप्त होता है।गुणा करने पर $a^2 = 16$,अतः $a

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$39$

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(B) दी गई नियता $x = \frac{a}{e} = 8$ और नाभि $(ae, 0) = (2, 0)$ है।इनसे,$ae = 2$ और $\frac{a}{e} = 8$ प्राप्त होता है।गुणा करने पर $a^2 = 16$,अतः $a = 4$। तब $e = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।$b^2 = a^2(1 - e^2) = 16(1 - \frac{1}{4}) = 16(\frac{3}{4}) = 12$,अतः $b = 2\sqrt{3}$।दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$ है।बिंदु $P(4\cos	heta, 2\sqrt{3}\sin	heta)$ पर स्पर्शरेखा $\frac{x\cos	heta}{4} + \frac{y\sin	heta}{2\sqrt{3}} = 1$ है।चूंकि यह $(0, 4\sqrt{3})$ से गुजरती है,$\frac{0}{4} + \frac{4\sqrt{3}\sin	heta}{2\sqrt{3}} = 1$,जिससे $2\sin	heta = 1$,अर्थात $\sin	heta = \frac{1}{2}$।अतः,$	heta = 30^\circ$। बिंदु $P$ का मान $(4\cos 30^\circ, 2\sqrt{3}\sin 30^\circ) = (2\sqrt{3}, \sqrt{3})$ है।स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x\sqrt{3}}{8} + \frac{y}{4\sqrt{3}} = 1$ है।$Q$ के लिए,$y = 0$ रखने पर: $\frac{x\sqrt{3}}{8} = 1 \Rightarrow x = \frac{8}{\sqrt{3}}$। अतः $Q = (\frac{8}{\sqrt{3}}, 0)$।$PQ^2 = (2\sqrt{3} - \frac{8}{\sqrt{3}})^2 + (\sqrt{3} - 0)^2 = (\frac{6-8}{\sqrt{3}})^2 + 3 = \frac{4}{3} + 3 = \frac{13}{3}$।$(3PQ)^2 = 9 	imes PQ^2 = 9 	imes \frac{13}{3} = 39$।

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