रेखाएँ overline{r}=overline{a}+lambda(overlin | vedclass

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Question

(B) दो रेखाएँ $\overline{r} = \overline{a_1} + \lambda \overline{v_1}$ और $\overline{r} = \overline{a_2} + \mu \overline{v_2}$ केवल तभी प्रतिच्छेद करत

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$[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 0$

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(B) दो रेखाएँ $\overline{r} = \overline{a_1} + \lambda \overline{v_1}$ और $\overline{r} = \overline{a_2} + \mu \overline{v_2}$ केवल तभी प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनके बीच की न्यूनतम दूरी $0$ हो। प्रतिच्छेदन के लिए शर्त $(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{v_1} 	imes \overline{v_2}) = 0$ है। यहाँ,$\overline{a_1} = \overline{a}$,$\overline{v_1} = \overline{b} 	imes \overline{c}$,$\overline{a_2} = \overline{c}$,और $\overline{v_2} = \overline{a} 	imes \overline{b}$ है। इन मानों को शर्त में रखने पर: $(\overline{c} - \overline{a}) \cdot ((\overline{b} 	imes \overline{c}) 	imes (\overline{a} 	imes \overline{b})) = 0$। सदिश त्रिक गुणनफल के नियम $(\overline{x} 	imes \overline{y}) 	imes \overline{z} = (\overline{x} \cdot \overline{z})\overline{y} - (\overline{y} \cdot \overline{z})\overline{x}$ का उपयोग करके,हम $(\overline{b} 	imes \overline{c}) 	imes (\overline{a} 	imes \overline{b})$ को सरल करते हैं। मान लीजिए $\overline{d} = \overline{a} 	imes \overline{b}$। तब $(\overline{b} 	imes \overline{c}) 	imes \overline{d} = (\overline{b} \cdot \overline{d})\overline{c} - (\overline{c} \cdot \overline{d})\overline{b}$। चूँकि $\overline{d} = \overline{a} 	imes \overline{b}$,इसलिए $\overline{b} \cdot \overline{d} = 0$ और $\overline{c} \cdot \overline{d} = [\overline{c} \overline{a} \overline{b}] = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$ होता है। इस प्रकार,सदिश गुणनफल $-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] \overline{b}$ प्राप्त होता है। शर्त $(\overline{c} - \overline{a}) \cdot (-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] \overline{b}) = 0$ बन जाती है। इसका अर्थ है कि $-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] (\overline{c} \cdot \overline{b} - \overline{a} \cdot \overline{b}) = 0$। यह शर्त तब संतुष्ट होती है यदि $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 0$ हो।

रेखाएँ $\overline{r}=\overline{a}+\lambda(\overline{b} \times \overline{c})$ और $\overline{r}=\overline{c}+\mu(\overline{a} \times \overline{b})$ प्रतिच्छेद करेंगी यदि

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यदि $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$ है,तो अदिश त्रिक गुणनफल $[a b c]$ का मान क्या है?

यदि सदिश $a \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\hat{i}+b \hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+c \hat{k}$ समतलीय हैं,जहाँ $(a, b, c \neq 1)$,तो $\frac{1}{1-a}+\frac{1}{1-b}+\frac{1}{1-c}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$(\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) \cdot ((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}))$ का मान ज्ञात कीजिए।

$a$ का वह मान जिसके लिए $\hat{i} + a \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + a \hat{k}$ और $a \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम हो,है

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