रेखाएँ frac{x - 2}{1} = frac{y - 3}{1} = frac | vedclass

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Question

(A) दो रेखाएँ $\frac{x - x_1}{a_1} = \frac{y - y_1}{b_1} = \frac{z - z_1}{c_1}$ और $\frac{x - x_2}{a_2} = \frac{y - y_2}{b_2} = \frac{z - z_2}{c_2}$ स

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$k = 0, -3$

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(A) दो रेखाएँ $\frac{x - x_1}{a_1} = \frac{y - y_1}{b_1} = \frac{z - z_1}{c_1}$ और $\frac{x - x_2}{a_2} = \frac{y - y_2}{b_2} = \frac{z - z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि सारणिक $\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \ a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ हो।यहाँ, $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$, $(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -k)$, $(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$, और $(a_2, b_2, c_2) = (k, 2, 1)$ है।प्रतिबंध है: $\begin{vmatrix} 1-2 & 4-3 & 5-4 \ 1 & 1 & -k \ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & -k \ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$.प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $-1(1 - (-2k)) - 1(1 - (-k^2)) + 1(2 - k) = 0$.$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 2 - k = 0$.$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$.$-k^2 - 3k = 0$.$k(k + 3) = 0$.अतः, $k = 0$ या $k = -3$।

रेखाएँ $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{-k}$ और $\frac{x - 1}{k} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z - 5}{1}$ समतलीय हैं यदि

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दो रेखाओं $\frac{x+2}{3}=\frac{y-2}{5}=\frac{z+5}{7}$ और $\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{4}=\frac{z+4}{7}$ को समाहित करने वाले समतल की मूल बिंदु से लंबवत दूरी ज्ञात कीजिए।

रेखा $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ और समतल $\bar{r} \cdot (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=4$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

समतल का सदिश समीकरण जो रेखाओं $r = (i + j) + \lambda (i + 2j - k)$ और $r = (i + j) + \mu (-i + j - 2k)$ को समाहित करता है,है

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