वे रेखाएँ जिनके दिक्-कोसाइन (direction cosine | vedclass

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Question

(A) दिक्-कोसाइन के लिए दिए गए समीकरण $a l + b m + c n = 0$ $(1)$ और $m n + n l + l m = 0$ $(2)$ हैं। $(1)$ से, हमारे पास $n = -\frac{a l + b m}{c}$ है

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लंबवत हैं यदि $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$

Vedclass · Answer

(A) दिक्-कोसाइन के लिए दिए गए समीकरण $a l + b m + c n = 0$ $(1)$ और $m n + n l + l m = 0$ $(2)$ हैं। $(1)$ से, हमारे पास $n = -\frac{a l + b m}{c}$ है। इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $m \left( -\frac{a l + b m}{c} ight) + l \left( -\frac{a l + b m}{c} ight) + l m = 0$. $-c$ से गुणा करने पर: $m(a l + b m) + l(a l + b m) - c l m = 0$. $a l^2 + b m^2 + a l m + b l m - c l m = 0$. $a l^2 + (a + b - c) l m + b m^2 = 0$. $m^2$ से विभाजित करने पर, हमें $a \left( \frac{l}{m} ight)^2 + (a + b - c) \left( \frac{l}{m} ight) + b = 0$ प्राप्त होता है। मान लीजिए कि दो रेखाओं के दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं। द्विघात समीकरण के मूल $\frac{l_1}{m_1}$ और $\frac{l_2}{m_2}$ हैं। अतः, $\frac{l_1 l_2}{m_1 m_2} = \frac{b}{a}$, जिसका अर्थ है $\frac{l_1 l_2}{b} = \frac{m_1 m_2}{a}$। समरूपता से, $\frac{l_1 l_2}{1/a} = \frac{m_1 m_2}{1/b} = \frac{n_1 n_2}{1/c} = k$। रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि $l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$। मान रखने पर: $k \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ight) = 0$। चूंकि $k 
eq 0$, शर्त $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ है।

वे रेखाएँ जिनके दिक्-कोसाइन (direction cosines) संबंध $a l+b m+c n=0$ और $m n+n l+l m=0$ द्वारा दिए गए हैं, वे

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दिखाइए कि $\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13} ; \frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13} ; \frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}$ दिक कोसाइन वाली तीन रेखाएँ परस्पर लंब हैं।

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