ઉપવલય $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ ને લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ શું છે?

ધારો કે વક્ર $9x^2 + 16y^2 = 144$ ને સ્પર્શક યામ અક્ષોને બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. તો,રેખાખંડ $AB$ ની ન્યૂનતમ લંબાઈ $.........$ છે.

ધારો કે બે ઉપવલયો $E_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, (a > b)$ અને $E_2: \frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1, (A < B)$ દરેકની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{4}{5}$ છે. જો $E_1$ અને $E_2$ ના નાભિલંબની લંબાઈ અનુક્રમે $\ell_1$ અને $\ell_2$ હોય, જેથી $2\ell_1^2 = 9\ell_2$ થાય. જો $E_1$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $8$ હોય, તો $E_2$ ની નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો:

$(5, 15)$ અને $(21, 15)$ પર નાભિ ધરાવતા ઉપવલયનો વિચાર કરો. જો $X$-અક્ષ એ ઉપવલયનો સ્પર્શક હોય,તો તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ કેટલી થાય?

જો $P(\theta)$ અને $Q\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ પરના બે બિંદુઓ હોય અને $PQ$ ના મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $\frac{x^2}{\alpha^2}+\frac{y^2}{\beta^2}=1$ હોય,તો $\frac{a+b}{\alpha+\beta}=$

એક ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો જેની ઉત્કેન્દ્રતા $1/2$ છે અને શિરોબિંદુઓ $(4, 0)$ અને $(10, 0)$ છે.