परवलय y^2 = 4ax की नाभिलंब जीवाओं के ध्रुवों | vedclass

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Question

(C) माना परवलय $y^2 = 4ax$ है। माना $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ परवलय पर दो बिंदु हैं ताकि $PQ$ नाभि $S(a, 0)$ से गुजरने वाली एक नाभिलंब

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नियता

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(C) माना परवलय $y^2 = 4ax$ है। माना $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ परवलय पर दो बिंदु हैं ताकि $PQ$ नाभि $S(a, 0)$ से गुजरने वाली एक नाभिलंब जीवा हो।जीवा $PQ$ का समीकरण $y(t_1 + t_2) = 2x + 2at_1t_2$ है।चूंकि यह $(a, 0)$ से गुजरती है,हमारे पास $0 = 2a + 2at_1t_2$ है,जिसका अर्थ है $t_1t_2 = -1$।माना $(x_1, y_1)$ परवलय $y^2 = 4ax$ के सापेक्ष जीवा $PQ$ का ध्रुव है।$(x_1, y_1)$ के ध्रुवीय का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है,जिसे $yy_1 - 2ax = 2ax_1$ के रूप में लिखा जा सकता है।इसकी तुलना जीवा के समीकरण $y(t_1 + t_2) - 2x = 2at_1t_2$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\frac{y_1}{t_1 + t_2} = \frac{-2a}{-2} = \frac{2ax_1}{2at_1t_2}$$\frac{y_1}{t_1 + t_2} = a$ से,हमें $y_1 = a(t_1 + t_2)$ प्राप्त होता है।$a = \frac{x_1}{t_1t_2}$ से,हमें $x_1 = at_1t_2$ प्राप्त होता है।चूंकि $t_1t_2 = -1$,हमें $x_1 = a(-1) = -a$ प्राप्त होता है।अतः,ध्रुव $(x_1, y_1)$ का बिंदुपथ $x = -a$ है,जो परवलय की नियता है।

परवलय $y^2 = 4ax$ की नाभिलंब जीवाओं के ध्रुवों का बिंदुपथ क्या है?

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