अंतराल [-1, 1] पर f(x) = frac{x}{4 + x + x^2} | vedclass

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Question

(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{4 + x + x^2}$ है।अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का

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$\frac{1}{6}$

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(C) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{4 + x + x^2}$ है।अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए, हम भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $f(x)$ का अवकलन करते हैं:$f'(x) = \frac{(4 + x + x^2)(1) - x(1 + 2x)}{(4 + x + x^2)^2}$$f'(x) = \frac{4 + x + x^2 - x - 2x^2}{(4 + x + x^2)^2} = \frac{4 - x^2}{(4 + x + x^2)^2}$.क्रांतिक बिंदुओं (critical points) के लिए, $f'(x) = 0$ रखें, जिसका अर्थ है $4 - x^2 = 0$, इसलिए $x = \pm 2$।चूंकि $x = \pm 2$ अंतराल $[-1, 1]$ में नहीं हैं, इसलिए दिए गए अंतराल में फलन का कोई क्रांतिक बिंदु नहीं है।चूंकि सभी $x \in [-1, 1]$ के लिए $4 - x^2 > 0$ है, इसलिए $f'(x) > 0$, जिसका अर्थ है कि $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर निरंतर वर्धमान (strictly increasing) है।अतः, अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x = 1$ पर प्राप्त होता है:$f(1) = \frac{1}{4 + 1 + 1^2} = \frac{1}{6}$।

अंतराल $[-1, 1]$ पर $f(x) = \frac{x}{4 + x + x^2}$ का अधिकतम मान है

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