0 le alpha_1, alpha_2, dots, alpha_n le frac{ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\cot \alpha_1 \cdot \cot \alpha_2 \cdots \cot \alpha_n = 1$. इसका अर्थ है कि $\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha

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$\frac{1}{2^{n/2}}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $\cot \alpha_1 \cdot \cot \alpha_2 \cdots \cot \alpha_n = 1$. इसका अर्थ है कि $\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n = \sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdots \sin \alpha_n$. मान लीजिए $P = \cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n$. तब $P^2 = (\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n) \cdot (\sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdots \sin \alpha_n)$. $\sin 	heta \cos 	heta = \frac{1}{2} \sin 2	heta$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें $P^2 = \frac{1}{2^n} \sin 2\alpha_1 \cdot \sin 2\alpha_2 \cdots \sin 2\alpha_n$ प्राप्त होता है। चूंकि प्रत्येक $i$ के लिए $\sin 2\alpha_i \le 1$,इसलिए $P^2 \le \frac{1}{2^n}$ है। वर्गमूल लेने पर,$P \le \sqrt{\frac{1}{2^n}} = \frac{1}{2^{n/2}}$. अधिकतम मान $\frac{1}{2^{n/2}}$ है।

$0 \le \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n \le \frac{\pi}{2}$ और $\cot \alpha_1 \cdot \cot \alpha_2 \cdots \cot \alpha_n = 1$ के प्रतिबंधों के तहत $\cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdots \cos \alpha_n$ का अधिकतम मान क्या है?

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