$x \in R$ માટે,પદાવલિ $\frac{x^2+x+1}{2x^2-x+1}$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

જો સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ હોય,અને $\alpha + \beta$,$\alpha^2 + \beta^2$,તથા $\alpha^3 + \beta^3$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય,અને $\Delta = b^2 - 4ac$ હોય,તો નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

ધારો કે $a, b, c$ અને $d$ કોઈપણ ચાર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. તો કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $a^{n} + b^{n} = c^{n} + d^{n}$ સાચું છે જો:

જો $\tan \alpha$ એ અસમતા $4x^2 - 16x + 15 < 0$ નો પૂર્ણાંક ઉકેલ હોય અને $\cos \beta$ એ પ્રથમ ચરણના દ્વિભાજકનો ઢાળ હોય,તો $\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta)$ ની કિંમત શોધો.

જો ઘન સમીકરણ $x^3-ax^2+ax-1=0$ એ એવા ઘન સમીકરણ સાથે સમાન હોય જેના બીજ આપેલા ઘન સમીકરણના બીજના વર્ગ હોય,તો '$a$' ની શૂન્યતર વાસ્તવિક કિંમત શોધો.

જો $\alpha, \beta$ એ સમીકરણ $x^5-5 x^4+9 x^3-9 x^2+5 x-1=0$ ના અસંમેય બીજ હોય,તો સમીકરણ $(\alpha+\beta) x^2+2 \alpha \beta x-\alpha \beta=0$ ના બીજ શોધો.