2^{sin x}+2^{cos x} का न्यूनतम मान क्या है? | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि $AM-GM$ असमिका के अनुसार, धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए, $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ होता है।$2^{\sin x}$ और $2^{

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$2^{1-1 / \sqrt{2}}$

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(A) हम जानते हैं कि $AM-GM$ असमिका के अनुसार, धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए, $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ होता है।$2^{\sin x}$ और $2^{\cos x}$ पर इसे लागू करने पर:$\frac{2^{\sin x}+2^{\cos x}}{2} \geq \sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}}$$\Rightarrow 2^{\sin x}+2^{\cos x} \geq 2 \cdot 2^{\frac{\sin x+\cos x}{2}} = 2^{1+\frac{\sin x+\cos x}{2}}$।हम जानते हैं कि $\sin x+\cos x$ का परिसर $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ है।व्यंजक $2^{1+\frac{\sin x+\cos x}{2}}$ को न्यूनतम करने के लिए, हमें घातांक $1+\frac{\sin x+\cos x}{2}$ को न्यूनतम करना होगा।$\sin x+\cos x$ का न्यूनतम मान $-\sqrt{2}$ है।इस मान को प्रतिस्थापित करने पर, न्यूनतम मान $2^{1+\frac{-\sqrt{2}}{2}} = 2^{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}$ प्राप्त होता है।

$2^{\sin x}+2^{\cos x}$ का न्यूनतम मान क्या है?

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