સમીકરણ x^{11}-x^7+x^4-1=0 ના ભિન્ન ઉકેલોની સં | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ સમીકરણ $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ છે. પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા: $x^7(x^4-1) + 1(x^4-1) = 0$ $(x^4-1)(x^7+1) = 0$. કિસ્સો $(i)$: $x^4-1=0 \implies x^

Vedclass · Accepted Answer

$10$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ સમીકરણ $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ છે. પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા: $x^7(x^4-1) + 1(x^4-1) = 0$ $(x^4-1)(x^7+1) = 0$. કિસ્સો $(i)$: $x^4-1=0 \implies x^4=1$. બીજ $k=0, 1, 2, 3$ માટે $x = e^{i(2k\pi/4)}$ છે. આ $1, i, -1, -i$ છે. કુલ $4$ ભિન્ન બીજ છે. કિસ્સો $(ii)$: $x^7+1=0 \implies x^7=-1$. બીજ $k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ માટે $x = e^{i((2k+1)\pi/7)}$ છે. કુલ $7$ ભિન્ન બીજ છે. કુલ ભિન્ન ઉકેલો શોધવા માટે,સામાન્ય બીજ તપાસીએ: જો $x^4=1$ અને $x^7=-1$ હોય,તો $|x|=1$ થાય. જો $x$ સામાન્ય બીજ હોય,તો $x^4=1$ અને $x^7=-1$. તેથી $x^8 = (x^4)^2 = 1^2 = 1$. $x^8 = x^7 \cdot x = 1$ હોવાથી,$(-1) \cdot x = 1$,એટલે કે $x = -1$. ચકાસો કે $x = -1$ બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે: $(-1)^4 = 1$ (સાચું) અને $(-1)^7 = -1$ (સાચું). તેથી,$x = -1$ એ એકમાત્ર સામાન્ય બીજ છે. કુલ ભિન્ન ઉકેલો = ($x^4-1=0$ ના બીજની સંખ્યા) + ($x^7+1=0$ ના બીજની સંખ્યા) - (સામાન્ય બીજની સંખ્યા) કુલ = $4 + 7 - 1 = 10$.

સમીકરણ $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ ના ભિન્ન ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

$(1 + 2\omega + \omega^2)^{3n} - (1 + \omega + 2\omega^2)^{3n}$ ની કિંમત શોધો.

$\frac{a + b\omega + c\omega^2}{b + c\omega + a\omega^2} + \frac{a + b\omega + c\omega^2}{c + a\omega + b\omega^2}$ ની કિંમત શું થશે?

સમીકરણ $(x-1)^3+64=0$ ના સંકર બીજોનો સરવાળો કેટલો થાય?

$\sum_{r=1}^{16}\left(\sin \frac{2 r \pi}{17}+i \cos \frac{2 r \pi}{17}\right)=$

$\sum_{k=1}^6 \left[ \sin \left(\frac{2 \pi k}{7}\right) - i \cos \left(\frac{2 \pi k}{7}\right) \right] = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module