समुच्चय $\{x \in N : ^{20-2x}C_{x-3} \in N\}$ में अवयवों की संख्या है

मान लीजिए $S = \{1, 2, 3, \ldots, 9\}$ है। $k = 1, 2, \ldots, 5$ के लिए,$N_k$ को $S$ के उन उपसमुच्चयों की संख्या के रूप में परिभाषित करें,जिनमें पाँच तत्व हैं और जिनमें से ठीक $k$ विषम हैं। तो $N_1 + N_2 + N_3 + N_4 + N_5 =$

माना $S_r = \{(x, y, z) : x + y + z = 11, x \geq r, y \geq r, z \geq r, x, y, z, r \in \mathbb{Z}\}$ और $n(S_r)$ $S_r$ में तत्वों की संख्या को दर्शाता है। तो $n(S_2) + n(S_3) + n(S_4) = $

$22$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों की एक टीम का चयन किया जाना है। यदि $2$ विशिष्ट खिलाड़ियों को हर टीम में शामिल किया जाना है और $4$ विशिष्ट खिलाड़ियों को हमेशा बाहर रखा जाना है,तो यह चयन कितने तरीकों से किया जा सकता है?

छह '$+$' और चार '$-$' चिन्हों को एक सीधी रेखा में इस प्रकार व्यवस्थित करना है कि कोई भी दो '$-$' चिन्ह एक साथ न आएं,तो कुल तरीकों की संख्या क्या है?

$10$ और $10,000$ के बीच ऐसे कितने पूर्णांक हैं जिनमें प्रत्येक अंक अपने ठीक पहले वाले अंक से बड़ा है?