1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 अंकों का उपयोग करके | vedclass

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Question

(A) यदि किसी संख्या के अंकों का योग $3$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $3$ से विभाज्य होती है। मान लीजिए चार अंकों की संख्या $d_1 d_2 d_3 d_4$ है। पहले ती

Vedclass · Accepted Answer

$2187$

Vedclass · Answer

(A) यदि किसी संख्या के अंकों का योग $3$ से विभाज्य है,तो वह संख्या $3$ से विभाज्य होती है। मान लीजिए चार अंकों की संख्या $d_1 d_2 d_3 d_4$ है। पहले तीन अंकों $(d_1, d_2, d_3)$ के लिए $9$ विकल्प हैं,जो ${1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ हैं। पहले तीन अंकों को चुनने के कुल तरीके $9 	imes 9 	imes 9 = 729$ हैं। मान लीजिए पहले तीन अंकों का योग $S = d_1 + d_2 + d_3$ है। पूरी संख्या के $3$ से विभाज्य होने के लिए,$S + d_4$ को $3$ का गुणज होना चाहिए। $S$ के किसी भी मान के लिए,हम $d_4 \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ के लिए ऐसे मान देखते हैं कि $S + d_4 \equiv 0 \pmod{3}$ हो। यदि $S \equiv 0 \pmod{3}$ है,तो $d_4 \in {3, 6, 9}$ ($3$ विकल्प)। यदि $S \equiv 1 \pmod{3}$ है,तो $d_4 \in {2, 5, 8}$ ($3$ विकल्प)। यदि $S \equiv 2 \pmod{3}$ है,तो $d_4 \in {1, 4, 7}$ ($3$ विकल्प)। सभी मामलों में,$d_4$ के लिए ठीक $3$ विकल्प हैं। इसलिए,ऐसी चार अंकों की कुल संख्याएँ $729 	imes 3 = 2187$ हैं।

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