$-3 x^4 + \operatorname{det}\begin{bmatrix} 1 & x & x^2 \\ 1 & x^2 & x^4 \\ 1 & x^3 & x^6 \end{bmatrix} = 0$ નું સમાધાન કરતા પૂર્ણાંક $x$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

જો શ્રેણિક $A$ ના ઘટકો શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ccc}1 & \omega & \omega^{2} \\ \omega & \omega^{2} & 1 \\ \omega^{2} & 1 & \omega\end{array}\right]$ ના ઘટકોના વ્યસ્ત હોય,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તો:

જો $A, B, C$ એ ત્રિકોણના ખૂણાઓ હોય,તો નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} \sin 2A & \sin C & \sin B \\ \sin C & \sin 2B & \sin A \\ \sin B & \sin A & \sin 2C \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય શું થાય?

જો $P$ એ એક નોન-સિંગ્યુલર મેટ્રિક્સ (શ્રેણિક) હોય કે જેથી $I+P+P^2+\ldots+P^{n}=0$ ($0$ એ શૂન્ય શ્રેણિક દર્શાવે છે), તો $P^{-1}=$

ધારો કે $A$ એ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ll}0 & i \\ i & 0\end{array}\right]$ દર્શાવે છે,જ્યાં $i^2=-1$,અને $I$ એ એકમ શ્રેણિક $\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ દર્શાવે છે. તો,$I+A+A^2+\ldots+A^{2010}$ શું થાય?

ધારો કે $A$ અને $B$ એ અનુક્રમે $\begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ અને $\begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix}$ સ્વરૂપના વાસ્તવિક શ્રેણિકો છે.
વિધાન $1$: $AB - BA$ હંમેશા વ્યસ્ત શ્રેણિક છે.
વિધાન $2$: $AB - BA$ ક્યારેય એકમ શ્રેણિક (identity matrix) હોઈ શકે નહીં.