सरल रेखा $x-2y+1=0$ से $\sqrt{5}$ की दूरी और रेखा $2x+3y-1=0$ से $\sqrt{13}$ की दूरी पर स्थित बिंदुओं की संख्या क्या है?

शीर्षों $(0, 0)$,$(0, 21)$ और $(21, 0)$ वाले त्रिभुज के बिल्कुल आंतरिक भाग में स्थित पूर्णांक बिंदुओं (पूर्णांक बिंदु का अर्थ है कि दोनों निर्देशांक पूर्णांक होने चाहिए) की संख्या है:

$m$ के कितने पूर्णांक मानों के लिए रेखाओं $3x + 4y = 9$ और $y = mx + 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का $x$-निर्देशांक भी एक पूर्णांक है?

यदि सरल रेखाएँ $ax + by + p = 0$ और $x \cos \alpha + y \sin \alpha - p = 0$ के बीच का कोण $\pi / 4$ है और वे सरल रेखा $x \sin \alpha - y \cos \alpha = 0$ से एक ही बिंदु पर मिलती हैं,तो $a^2 + b^2$ का मान क्या होगा?

यदि $(1, 5)$ रेखाओं $5x - y - 4 = 0$ और $3x + 4y - 4 = 0$ के बीच के रेखाखंड का मध्यबिंदु है, तो रेखा का समीकरण क्या होगा?

मान लीजिए कि दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी $5$ इकाई है और एक बिंदु $P$ रेखाओं के बीच उनमें से एक से इकाई दूरी पर स्थित है। एक समबाहु त्रिभुज $PQR$ इस प्रकार बनता है कि $Q$ एक समानांतर रेखा पर स्थित है,जबकि $R$ दूसरी रेखा पर स्थित है। तब $(QR)^2$ का मान . . . . . . है।