સમીકરણ e^{4x} + 2e^{3x} - e^{x} - 6 = 0 ના વા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $e^{x} = t$. કારણ કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{x} > 0$ છે,તેથી $t > 0$ હોવું જોઈએ.આપેલ સમીકરણ $f(t) = t^{4} + 2t^{3} - t - 6 = 0$ બને છે.

Vedclass · Accepted Answer

$1$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $e^{x} = t$. કારણ કે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $e^{x} > 0$ છે,તેથી $t > 0$ હોવું જોઈએ.આપેલ સમીકરણ $f(t) = t^{4} + 2t^{3} - t - 6 = 0$ બને છે.વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $t > 0$ માટે વિધેય $f(t)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.વિકલન મેળવો: $f'(t) = 4t^{3} + 6t^{2} - 1$.દ્વિતીય વિકલન મેળવો: $f''(t) = 12t^{2} + 12t$. $t > 0$ માટે,$f''(t) > 0$,જેનો અર્થ છે કે $t > 0$ માટે $f'(t)$ સતત વધતું વિધેય છે.$f'(0) = -1$ અને $f'(1) = 4 + 6 - 1 = 9$. કારણ કે $f'(t)$ સતત છે અને અંતરાલ $(0, 1)$ માં ઋણથી ધન તરફ ચિહ્ન બદલે છે,તેથી એક અનન્ય ઉકેલ $\alpha \in (0, 1)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f'(\alpha) = 0$ થાય.આમ,$f(t)$ એ $(0, \alpha)$ પર ઘટે છે અને $(\alpha, \infty)$ પર વધે છે.મુખ્ય બિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત તપાસો:$f(0) = -6$$f(1) = 1 + 2 - 1 - 6 = -4$$f(2) = 16 + 16 - 2 - 6 = 24$કારણ કે $f(1) = -4  0$,તેથી 'ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ' મુજબ,અંતરાલ $(1, 2)$ માં $t$ માટે બરાબર એક ઉકેલ છે.કારણ કે $t = e^{x} > 0$ છે,અને વિધેય $f(t)$ એ $t > 1$ માટે સતત વધતું વિધેય છે,તેથી $x$ માટે બરાબર એક વાસ્તવિક ઉકેલ મળે છે.

સમીકરણ $e^{4x} + 2e^{3x} - e^{x} - 6 = 0$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

કોઈપણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યા અને તેના વ્યસ્તનો સરવાળો ન્યૂનતમ મૂલ્ય શું છે?

ધારો કે ત્રિઘાત બહુપદી $f(x) = x^3 - px + q$ ને ત્રણ વાસ્તવિક બીજ છે,જ્યાં $p > 0$ અને $q > 0$ છે. નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

વિધેય $f(x) = \int_{0}^{x} \frac{\sin t}{t} dt$ માટે,જ્યાં $x > 0$,નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

$100$ ના એવા બે ભાગ કયા છે જેના માટે પ્રથમ ભાગના બમણા અને બીજા ભાગના વર્ગનો સરવાળો ન્યૂનતમ થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module