समीकरण $\frac{P^2}{x} + \frac{Q^2}{x - 1} = 1$ के वास्तविक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $P$ और $Q$ शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं।

समीकरण $-x^{2}+x-2=0$ को हल कीजिए।

मान लीजिए $p(x) = x^2 + ax + b$ के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं,जहाँ $a, b$ वास्तविक संख्याएँ हैं। सभी वास्तविक संख्या $x$ के लिए $g(x) = p(x^3)$ को परिभाषित करें। तो,निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$I.$ $g$ के ठीक दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
$II.$ $g$ के दो से अधिक भिन्न वास्तविक मूल हो सकते हैं।
$III.$ एक ऐसी वास्तविक संख्या $\alpha$ मौजूद है कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $g(x) \geq \alpha$ है।

यदि समीकरण $x^2 + px + 12 = 0$ का एक मूल $4$ है,और समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के मूल समान हैं,तो $q$ का मान क्या है?

$m$ के उन वास्तविक मानों की संख्या क्या है जिनके लिए समीकरण $x^2+(2m+1)x+m=0$ के मूल समान हैं?

मान लीजिए $f(x)=ax^{2}+bx+c$ और $g(x)=px^{2}+qx+r$ इस प्रकार हैं कि $f(1)=g(1)$, $f(2)=g(2)$ और $f(3)-g(3)=2$ है। तो, $f(4)-g(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।