समीकरण $x^2+3x+2=\min \{|x-3|, |x+2|\}$ के वास्तविक हलों की संख्या क्या है?

यदि समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,और $\alpha + \beta$,$\alpha^2 + \beta^2$,तथा $\alpha^3 + \beta^3$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,और $\Delta = b^2 - 4ac$ है,तो निम्नलिखित में से क्या सत्य है?

यदि त्रिघात समीकरण $x^3-ax^2+ax-1=0$ उस त्रिघात समीकरण के समान है जिसके मूल दिए गए त्रिघात समीकरण के मूलों के वर्ग हैं,तो '$a$' का शून्येतर वास्तविक मान है

मान लीजिए कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^{2}-4 \lambda x+5=0$ के मूल हैं और $\alpha, \gamma$ समीकरण $x^{2}-(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}) x+7+3 \lambda \sqrt{3}=0$ के मूल हैं। यदि $\beta+\gamma=3 \sqrt{2}$ है,तो $(\alpha+2 \beta+\gamma)^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $x$ एक सम्मिश्र संख्या है,तो व्यंजक $\frac{x^2+34x-71}{x^2+2x-7}$ अंतराल $(a, b)$ में सभी मान ग्रहण करता है,तो $a$ और $b$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $[r]$ उस सबसे बड़े पूर्णांक को दर्शाता है जो $r$ से अधिक नहीं है। समीकरण $3 x^2 + 6 x + 5 + \alpha (x^2 + 2 x + 2) = 0$ के मूल सम्मिश्र संख्याएँ हैं जब भी $\alpha > L$ या $\alpha < M$ हो। यदि $(L - M)$ न्यूनतम है,तो $[r]$ का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए ताकि सभी $y \in R$ के लिए $L y^2 + M y + r < 0$ हो।