समीकरण e^{4x} + 4e^{3x} - 58e^{2x} + 4e^{x} + | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $e^{4x} + 4e^{3x} - 58e^{2x} + 4e^{x} + 1 = 0$.$e^{2x}$ से भाग देने पर:$e^{2x} + 4e^{x} - 58 + 4e^{-x} + e^{-2x} = 0$.पदों को व्य

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$2$

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(D) दिया गया समीकरण: $e^{4x} + 4e^{3x} - 58e^{2x} + 4e^{x} + 1 = 0$.$e^{2x}$ से भाग देने पर:$e^{2x} + 4e^{x} - 58 + 4e^{-x} + e^{-2x} = 0$.पदों को व्यवस्थित करने पर:$(e^{2x} + e^{-2x}) + 4(e^{x} + e^{-x}) - 58 = 0$.माना $t = e^{x} + e^{-x}$. वास्तविक $x$ के लिए $t \geq 2$.चूंकि $(e^{x} + e^{-x})^{2} = e^{2x} + e^{-2x} + 2$,इसलिए $e^{2x} + e^{-2x} = t^{2} - 2$.समीकरण में मान रखने पर:$(t^{2} - 2) + 4t - 58 = 0 \implies t^{2} + 4t - 60 = 0$.गुणनखंड करने पर:$(t + 10)(t - 6) = 0$.अतः,$t = -10$ या $t = 6$.चूंकि $t = e^{x} + e^{-x} \geq 2$,इसलिए $t = -10$ संभव नहीं है।अतः,$e^{x} + e^{-x} = 6$.$e^{2x} - 6e^{x} + 1 = 0$.माना $u = e^{x}$. तब $u^{2} - 6u + 1 = 0$.विविक्तकर $D = (-6)^{2} - 4(1)(1) = 32 > 0$.मूलों का गुणनफल $1 > 0$ और योग $6 > 0$ है,इसलिए दोनों मूल $u_{1}, u_{2}$ धनात्मक हैं।चूंकि $u = e^{x} > 0$,इसलिए दोनों मूलों के लिए $x = \ln(u)$ के वास्तविक हल प्राप्त होते हैं।अतः,$2$ वास्तविक हल हैं।

समीकरण $e^{4x} + 4e^{3x} - 58e^{2x} + 4e^{x} + 1 = 0$ के वास्तविक हलों की संख्या है:

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