समीकरण ln(ln x) = log_x e के हलों की संख्या - | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण: $\ln(\ln x) = \log_x e$$\log_x e = \frac{1}{\ln x}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,समीकरण $\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}$ हो जाता है।मान

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$1$

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(B) दिया गया समीकरण: $\ln(\ln x) = \log_x e$$\log_x e = \frac{1}{\ln x}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,समीकरण $\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}$ हो जाता है।माना $t = \ln x$। तब समीकरण $\ln t = \frac{1}{t}$ या $t \ln t = 1$ है।माना $f(t) = t \ln t$। हमें $f(t) = 1$ के लिए हलों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ $t > 0$ और $\ln x$ परिभाषित है (अर्थात $x > 0$ और $\ln x > 0$,इसलिए $t > 0$)।$t \in (0, 1]$ के लिए,$f(t) = t \ln t \le 0$,इसलिए कोई हल नहीं है।$t > 1$ के लिए,$f(t)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है जो $0$ से $\infty$ तक जाता है।चूँकि $f(1) = 0$ और $\lim_{t 	o \infty} f(t) = \infty$,इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,एक ऐसा अद्वितीय मान $t_0 > 1$ मौजूद है जिसके लिए $f(t_0) = 1$ है।चूँकि $t = \ln x$,$x = e^{t_0}$ अद्वितीय हल है।अतः,हलों की संख्या $1$ है।

समीकरण $\ln(\ln x) = \log_x e$ के हलों की संख्या - है।

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