समीकरण x^2 + y^2 = a^2 + b^2 + c^2 के हलों की | vedclass

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Question

(A) समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2 + c^2$ पर विचार करें जहाँ $x, y, a, b, c$ अभाज्य संख्याएँ हैं।स्थिति $1$: यदि सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं,तो $x^2,

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(A) समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2 + c^2$ पर विचार करें जहाँ $x, y, a, b, c$ अभाज्य संख्याएँ हैं।स्थिति $1$: यदि सभी अभाज्य संख्याएँ विषम हैं,तो $x^2, y^2, a^2, b^2, c^2 \equiv 1 \pmod{4}$ या $1 \pmod{8}$ होगा।किसी भी विषम अभाज्य संख्या $p$ के लिए,$p^2 \equiv 1 \pmod{8}$ होता है।तब $x^2 + y^2 \equiv 1 + 1 = 2 \pmod{8}$ और $a^2 + b^2 + c^2 \equiv 1 + 1 + 1 = 3 \pmod{8}$ होगा।चूँकि $2 
ot\equiv 3 \pmod{8}$,इसलिए कोई हल संभव नहीं है।स्थिति $2$: यदि कम से कम एक संख्या $2$ है।यदि $x=2$ है,तो $4 + y^2 = a^2 + b^2 + c^2$। यदि $y=2$ है,तो $8 = a^2 + b^2 + c^2$। $8$ से छोटी अभाज्य संख्याओं का वर्ग केवल $2$ है। यदि $a=b=c=2$ लें,तो $a^2 + b^2 + c^2 = 12 
eq 8$ होगा।छोटी अभाज्य संख्याओं की जाँच करने पर,कोई हल प्राप्त नहीं होता है।अतः,हलों की संख्या $0$ है।

समीकरण $x^2 + y^2 = a^2 + b^2 + c^2$ के हलों की संख्या ज्ञात कीजिए,जहाँ $x, y, a, b, c$ सभी अभाज्य संख्याएँ हैं।

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