समीकरण $\left(\frac{9}{x}-\frac{9}{\sqrt{x}}+2\right)\left(\frac{2}{x}-\frac{7}{\sqrt{x}}+3\right)=0$ के हलों की संख्या क्या है?

दिए गए समीकरण $2(a^2 + b^2)x^2 + 2(a + b)x + 1 = 0$ के मूल हैं

मान लीजिए $S = \{ \sin^2 2\theta : (\sin^4 \theta + \cos^4 \theta)x^2 + (\sin 2\theta)x + (\sin^6 \theta + \cos^6 \theta) = 0 \text{ के वास्तविक मूल हैं} \}$। यदि $\alpha$ और $\beta$ समुच्चय $S$ के क्रमशः सबसे छोटे और सबसे बड़े अवयव हैं,तो $3((\alpha - 2)^2 + (\beta - 1)^2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,द्विघात समीकरण $x(x + 1) + (x + 1)(x + 2) + \dots + (x + n - 1)(x + n) = 10n$ के दो क्रमागत पूर्णांक हल हैं,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0$ इस प्रकार हैं कि समीकरण $a x^{2}-2 b x+5=0$ का एक पुनरावृत्त मूल $\alpha$ है,जो समीकरण $x^{2}-2 b x-10=0$ का भी एक मूल है। यदि $\beta$ इस समीकरण का दूसरा मूल है,तो $\alpha^{2}+\beta^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

समीकरण $x|x+5|+2|x+7|-2=0$ के वास्तविक हलों की संख्या ..................... है।