જેના માટે સમીકરણોની સંહતિ $(k + 1)x + 8y = 4k$ અને $kx + (k + 3)y = 3k - 1$ ને અનંત ઉકેલો હોય,તેવી $k$ ની કિંમતોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $m, n$ એવા ધન પૂર્ણાંકો છે કે જેથી $6^m + 2^{m+n} \cdot 3^w + 2^n = 332$ થાય. તો પદાવલિ $m^2 + mn + n^2$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $-\frac{\pi}{6} < \theta < -\frac{\pi}{12}$. ધારો કે $\alpha_1$ અને $\beta_1$ એ સમીકરણ $x^2 - 2x \sec \theta + 1 = 0$ ના બીજ છે અને $\alpha_2$ અને $\beta_2$ એ સમીકરણ $x^2 + 2x \tan \theta - 1 = 0$ ના બીજ છે. જો $\alpha_1 > \beta_1$ અને $\alpha_2 > \beta_2$ હોય,તો $\alpha_1 + \beta_2$ ની કિંમત શોધો.

$x^2+5x-6=0$ અને $y^2-8y-20=0$ દ્વારા બનતા લંબચોરસના વિકર્ણનું મધ્યબિંદુ શોધો.

જો $\alpha$ અને $\beta$ $(\alpha > \beta)$ એ સમીકરણ $4x^4 + 4x^3 - 23x^2 - 12x + 36 = 0$ ના બહુવિધ બીજ હોય,તો $2\alpha - \beta = $

ધારો કે $P(x)$ એક બહુપદી છે, જેને $(x-3)$ અને $(x-5)$ વડે ભાગતા અનુક્રમે $10$ અને $6$ શેષ વધે છે. જો આ બહુપદીને $(x-3)(x-5)$ વડે ભાગવામાં આવે, તો શેષ શું મળે?