જુદા જુદા રંગના $8$ મણકાને હાર તરીકે પરોવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$8$ પુરુષો અને $4$ સ્ત્રીઓને ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ એવી રીતે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે કે જેથી કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસે?

ધારો કે $m$ એ $5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓને એક હારમાં એકાંતરે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા દર્શાવે છે અને $n$ એ $5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓને વર્તુળમાં એવી રીતે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા દર્શાવે છે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન હોય. જો $m = kn$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.

જુદા જુદા કદના $2$ લાલ,$3$ સફેદ અને $5$ પીળા ગુલાબને હારમાં એવી રીતે ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે કે જેથી કોઈ પણ બે પીળા ગુલાબ સાથે ન આવે?

એક રીંગમાં $5$ ચાવીઓ કેટલી રીતે ગોઠવી શકાય?

$5$ છોકરાઓ અને $5$ છોકરીઓને એક ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ બેસવાનું છે. તેઓ એવી રીતે કેટલી રીતે બેસી શકે કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરાઓ અને કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન હોય?