अवकल समीकरण (1+e^{2x}) dy + e^x(1+y^2) dx = 0 | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+e^{2x}) dy + e^x(1+y^2) dx = 0$ है। चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{1+y^2} = -\frac{e^x}{1+e^{2x}} dx$ प्राप्त होता है। दो

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$	an^{-1} e^x + 	an^{-1} y = \frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $(1+e^{2x}) dy + e^x(1+y^2) dx = 0$ है। चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{1+y^2} = -\frac{e^x}{1+e^{2x}} dx$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{1+y^2} = -\int \frac{e^x}{1+(e^x)^2} dx$. माना $e^x = t$,तो $e^x dx = dt$ होगा। समाकलन करने पर,$	an^{-1}(y) = -	an^{-1}(t) + C$,अर्थात $	an^{-1}(y) = -	an^{-1}(e^x) + C$. अतः,$	an^{-1}(y) + 	an^{-1}(e^x) = C$. $x=0$ और $y=1$ रखने पर,$	an^{-1}(1) + 	an^{-1}(e^0) = C$. $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = C$,जिससे $C = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है। अतः,विशिष्ट हल $	an^{-1}(y) + 	an^{-1}(e^x) = \frac{\pi}{2}$ है।

अवकल समीकरण $(1+e^{2x}) dy + e^x(1+y^2) dx = 0$ का $x=0$ और $y=1$ पर विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

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