બે રેખાઓ $\frac{x+2}{3}=\frac{y-2}{5}=\frac{z+5}{7}$ અને $\frac{x-1}{1}=\frac{y-4}{4}=\frac{z+4}{7}$ ને સમાવતા સમતલનું ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર શોધો.

ધારો કે $P(3, 2, 6)$ એ અવકાશમાં આવેલું બિંદુ છે અને $Q$ એ રેખા $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(-3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k})$ પરનું બિંદુ છે. તો $\mu$ ના કયા મૂલ્ય માટે સદિશ $\vec{PQ}$ એ સમતલ $x - 4y + 3z = 1$ ને સમાંતર હોય?

ધારો કે $\vec{r} \cdot (3\hat{i} - 2\hat{j} + 7\hat{k}) = 32$ એ એક સમતલનું સમીકરણ છે. જો $(5, b, 3)$ દિક-ગુણોત્તર ધરાવતી રેખા સમતલને સમાંતર હોય, તો $b$ ની કિંમત શોધો:

પ્રથમ અષ્ટમાંશ $(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ માં સ્થિત પિરામિડ $OPQRS$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે,અને $OP$ તથા $OR$ અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પર છે. પિરામિડનો પાયો $OPQR$ એ $OP=3$ ધરાવતો ચોરસ છે. બિંદુ $S$ એ વિકર્ણ $OQ$ ના મધ્યબિંદુ $T$ ની બરાબર ઉપર છે,જેથી $TS=3$ થાય. તો:

જો બિંદુ $A(-1, 4, 3)$ માંથી સમતલ $P: 2x + my + nz = 4$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $B\left(-2, \frac{7}{2}, \frac{3}{2}\right)$ હોય,તો બિંદુ $A$ નું સમતલ $P$ થી,દિશા ગુણોત્તર $3, -1, -4$ વાળી રેખાને સમાંતર માપેલું અંતર કેટલું થાય?

ધારો કે $O(\overrightarrow{0}), A(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}), B(-2 \hat{i}+3 \hat{k}), C(-2 \hat{i}+\hat{j}), D(4 \hat{k})$ એ બિંદુઓ $O, A, B, C$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો છે. જો $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખા $O, C$ અને $D$ માંથી પસાર થતા સમતલને $R$ બિંદુએ છેદે છે,તો $R$ નો સ્થાન સદિશ શોધો.