વક્ર $3x^2 - y^2 - 2x + 4y = 0$ ની તમામ જીવાઓ જે ઉગમબિંદુ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તે કયા બિંદુએ સંગામી છે?

$x^{2}+y^{2}=4$ વર્તુળની જીવાઓ જે ઉગમબિંદુ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તેના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

$\triangle ABC$ ની બાજુ $AB$ નિશ્ચિત છે અને તેની લંબાઈ $2a$ એકમ છે. શિરોબિંદુ $C$ સમતલમાં એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી શિરોબિંદુનો ખૂણો $\angle ACB$ હંમેશા અચળ રહે અને તે $\alpha$ હોય. ધારો કે $x$-અક્ષ $AB$ પર છે અને ઉગમબિંદુ $A$ પર છે. તો શિરોબિંદુ $C$ નો બિંદુપથ શું છે?

બે રેખાખંડો $AB$ અને $CD$ અનુક્રમે $X$ અને $Y$-અક્ષ પર એવી રીતે ગતિ કરે છે કે જેથી બિંદુઓ $A, B, C, D$ એક વર્તુળ પર આવેલ હોય. જો $AB = a$ અને $CD = b$ હોય,તો $A, B, C, D$ માંથી પસાર થતા વર્તુળના કેન્દ્રનો ધ્રુવીય યામ પદ્ધતિમાં બિંદુગણ (locus) શું થશે?

$(a \cos t, a \sin t)$,$(b \sin t, -b \cos t)$ અને $(1, 0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ શું થાય?

ધારો કે $S = 0$ એ એક ચલ વર્તુળના કેન્દ્રનો બિંદુપથ છે જે વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$ ને બિંદુ $(4, 6)$ પર લંબછેદી છે. જો $P$ એ $S = 0$ પરનું એક ચલ બિંદુ હોય,તો $OP$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધો (જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે).