એક ટીમમાં ખેલાડી $A$ અને $B$ ની ટુર્નામેન્ટ માટે કેપ્ટન તરીકે પસંદગી થવાની સંભાવના અનુક્રમે $0.6$ અને $0.4$ છે. જો $A$ કેપ્ટન તરીકે પસંદ થાય, તો ટીમ ટુર્નામેન્ટ જીતે તેની સંભાવના $0.8$ છે અને જો $B$ કેપ્ટન તરીકે પસંદ થાય, તો ટીમ ટુર્નામેન્ટ જીતે તેની સંભાવના $0.7$ છે. તો, ટીમ ટુર્નામેન્ટ જીતે તેની સંભાવના કેટલી છે?

જો $12$ સમાન દડાઓને $3$ સમાન બોક્સમાં યાદચ્છિક રીતે મૂકવામાં આવે,તો એક બોક્સમાં બરાબર $3$ દડા હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

$2$ કબાટ છે. એક કબાટમાં $5$ ભૌતિકવિજ્ઞાન અને $3$ જીવવિજ્ઞાનના પુસ્તકો છે અને બીજામાં $4$ ભૌતિકવિજ્ઞાન અને $2$ જીવવિજ્ઞાનના પુસ્તકો છે. તો ભૌતિકવિજ્ઞાનનું પુસ્તક પસંદ કરવાની સંભાવના કેટલી છે?

બોક્સ $1$ માં $1, 2, 3$ નંબરના ત્રણ કાર્ડ છે; બોક્સ $2$ માં $1, 2, 3, 4, 5$ નંબરના પાંચ કાર્ડ છે; અને બોક્સ $3$ માં $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ નંબરના સાત કાર્ડ છે. દરેક બોક્સમાંથી એક કાર્ડ ખેંચવામાં આવે છે. ધારો કે $x_i$ એ $i$-માં બોક્સમાંથી ખેંચાયેલ કાર્ડ પરની સંખ્યા છે,$i = 1, 2, 3$.
$1.$ $x_1 + x_2 + x_3$ એકી સંખ્યા હોય તેની સંભાવના છે:
$(A) \frac{29}{105}$ $(B) \frac{53}{105}$ $(C) \frac{57}{105}$ $(D) \frac{1}{2}$
$2.$ $x_1, x_2, x_3$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તેની સંભાવના છે:
$(A) \frac{9}{105}$ $(B) \frac{10}{105}$ $(C) \frac{11}{105}$ $(D) \frac{7}{105}$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ ના જવાબ આપો.

એક સારી રીતે ચીપેલા પત્તાના પેકમાંથી જ્યાં સુધી એક્કો (ace) ન આવે ત્યાં સુધી એક પછી એક પત્તા ખેંચવામાં આવે છે. જો પ્રથમ એક્કો આવે તે પહેલાં બરાબર $5$ પત્તા ખેંચાય તેની સંભાવના $\frac{4}{49}\left(\frac{p_1 \cdot p_2 \cdot p_3}{p_4 \cdot p_5 \cdot p_6}\right)$ હોય, જ્યાં $p_i$ એ $i=1, 2, 3, 4, 5, 6$ માટે અવિભાજ્ય સંખ્યા છે, તો $(\max \{p_i\} - \min \{p_i\}) = $

જો પૂર્ણાંકો $m$ અને $n$ ને $1$ અને $100$ ની વચ્ચે યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો $7^m + 7^n$ સ્વરૂપની સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય તેની સંભાવના કેટલી થાય?