मूल बिंदु से सरल रेखाओं के युग्म 12x^2 + 25xy | vedclass

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Question

(B) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण: $12x^2 + 25xy + 12y^2 + 10x + 11y + 2 = 0$ $(i)$ सबसे पहले,समघातीय भाग का गुणनखंड करें: $12x^2 + 25xy + 12

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$\frac{2}{25}$

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(B) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण: $12x^2 + 25xy + 12y^2 + 10x + 11y + 2 = 0$ $(i)$ सबसे पहले,समघातीय भाग का गुणनखंड करें: $12x^2 + 25xy + 12y^2 = (3x + 4y)(4x + 3y) = 0$. मान लीजिए कि दो रेखाएँ $(3x + 4y + c_1) = 0$ और $(4x + 3y + c_2) = 0$ हैं। उनका गुणनफल $(3x + 4y + c_1)(4x + 3y + c_2) = 12x^2 + 25xy + 12y^2 + (4c_1 + 3c_2)x + (3c_1 + 4c_2)y + c_1c_2 = 0$ है। इसकी तुलना समीकरण $(i)$ से करने पर: $4c_1 + 3c_2 = 10$ $3c_1 + 4c_2 = 11$ इन समीकरणों को हल करने पर: पहले समीकरण को $4$ से और दूसरे को $3$ से गुणा करने पर: $16c_1 + 12c_2 = 40$ $9c_1 + 12c_2 = 33$ घटाने पर $7c_1 = 7 \Rightarrow c_1 = 1$ प्राप्त होता है। $c_1 = 1$ को $4(1) + 3c_2 = 10$ में रखने पर $3c_2 = 6 \Rightarrow c_2 = 2$ प्राप्त होता है। रेखाएँ $3x + 4y + 1 = 0$ और $4x + 3y + 2 = 0$ हैं। मूल बिंदु $(0,0)$ से लंबवत दूरियाँ हैं: $p_1 = \frac{|0 + 0 + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{1}{5}$ $p_2 = \frac{|0 + 0 + 2|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{2}{5}$ दूरियों का गुणनफल $p_1 \cdot p_2 = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{25}$ है।

मूल बिंदु से सरल रेखाओं के युग्म $12x^2 + 25xy + 12y^2 + 10x + 11y + 2 = 0$ पर डाले गए लंबों की दूरियों का गुणनफल है

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$k$ के किस मान के लिए समीकरण $kx^2 - 10xy + 12y^2 + 5x - 16y - 3 = 0$ सरल रेखाओं के एक युग्म को दर्शाता है?

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