કલ્ચરમાં બેક્ટેરિયાના વધવાનો દર તે સમયે હાજર બેક્ટેરિયાની સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે. એવું જોવા મળે છે કે $6 \text{ કલાક}$ માં સંખ્યા બમણી થાય છે. $18 \text{ કલાક}$ ના અંતે બેક્ટેરિયાની સંખ્યા શરૂઆતની સંખ્યા કરતા $n$ ગણી થાય છે. $n$ શોધો.

જ્યારે $y(1) = 2$ હોય,ત્યારે $\frac{dy}{dx} = \frac{y+1}{x-1}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ખુલ્લી હવામાં એક ભીનો પદાર્થ તેના ભેજની માત્રાના પ્રમાણમાં ભેજ ગુમાવે છે. જો ખુલ્લી હવામાં લટકાવેલી એક શીટ,પ્રથમ કલાક દરમિયાન તેનો અડધો ભેજ ગુમાવે છે,તો $90 \%$ ભેજ ...... કલાકમાં ગુમાવશે.

ધારો કે એક વક્ર $y=f(x), x \in(0, \infty)$ બિંદુઓ $P\left(1, \frac{3}{2}\right)$ અને $Q\left(a, \frac{1}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે. જો આપેલ વક્ર પરના કોઈપણ બિંદુ $R(b, f(b))$ આગળનો સ્પર્શક $y$-અક્ષને બિંદુ $S(0, c)$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $bc=3$ થાય,તો $(PQ)^2$ ની કિંમત $.........$ છે.

ધારો કે $\Gamma$ એ $y = y(x)$ વક્ર દર્શાવે છે જે પ્રથમ ચરણમાં છે અને બિંદુ $(1,0)$ તેના પર આવેલું છે. ધારો કે $P$ બિંદુએ $\Gamma$ નો સ્પર્શક $y$-અક્ષને $Y_p$ માં છેદે છે. જો $\Gamma$ પરના દરેક બિંદુ $P$ માટે $PY_p$ ની લંબાઈ $1$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયો/કયા વિકલ્પ સાચો/સાચા છે?
$(1)$ $y=\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)-\sqrt{1-x^2}$
$(2)$ $xy^{\prime}+\sqrt{1-x^2}=0$
$(3)$ $y=-\ln\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)+\sqrt{1-x^2}$
$(4)$ $xy^{\prime}-\sqrt{1-x^2}=0$

બેક્ટેરિયાના એક ચોક્કસ સંવર્ધનમાં,વધારાનો દર તે સમયે હાજર બેક્ટેરિયાની સંખ્યાના પ્રમાણમાં છે. જો $3$ કલાકના અંતે $10,000$ બેક્ટેરિયા અને $5$ કલાકના અંતે $40,000$ બેક્ટેરિયા હોય,તો શરૂઆતમાં હાજર બેક્ટેરિયાની સંખ્યા શોધો.