$(x^5 + 4 \cdot 3^{-\log_{\sqrt{3}}\sqrt{x^3}})^{10}$ के विस्तार में $x^2$ के गुणांक और $x^{10}$ के गुणांक का अनुपात ज्ञात कीजिए।

$n! \left[ x - \left( \frac{^nC_0 + ^nC_1}{^nC_0} \right) \right] \left[ \frac{x}{2} - \left( \frac{^nC_1 + ^nC_2}{^nC_1} \right) \right] \dots \left[ \frac{x}{n} - \left( \frac{^nC_{n-1} + ^nC_n}{^nC_{n-1}} \right) \right]$ के विस्तार में $x^{n-6}$ का गुणांक ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में $x^{n}$ का गुणांक,$(1+x)^{2n-1}$ के विस्तार में $x^{n}$ के गुणांक का दोगुना है।

यदि $(\alpha x^3 + \frac{1}{\beta x})^{11}$ में $x^9$ का गुणांक और $(\alpha x - \frac{1}{\beta x^3})^{11}$ में $x^{-9}$ का गुणांक समान हैं,तो $(\alpha \beta)^2$ का मान $.............$ है।

$k$ के उन सभी संभावित मानों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $(\sqrt{x}+\sqrt[k]{y})^{10}$ के विस्तार में ठीक नौ अपरिमेय पद हों।

जब $x \in (0, 1)$ है,तो $\left( tx^{\frac{1}{5}} + \frac{(1-x)^{\frac{1}{10}}}{t} \right)^{10}$ के विस्तार में $t$ से स्वतंत्र पद का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।