वास्तविक मान वाला फलन f(x) = frac{x^2}{2} - l | vedclass

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Question

(B) फलन के वर्धमान या ह्रासमान होने के अंतराल ज्ञात करने के लिए, हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2} - \log(x

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$(1, \infty)$ में निरंतर वर्धमान

Vedclass · Answer

(B) फलन के वर्धमान या ह्रासमान होने के अंतराल ज्ञात करने के लिए, हम इसका अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं।$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{2} - \log(x^2 + x + 1) \right) = x - \frac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$.$f'(x) = \frac{x(x^2 + x + 1) - (2x + 1)}{x^2 + x + 1} = \frac{x^3 + x^2 + x - 2x - 1}{x^2 + x + 1} = \frac{x^3 + x^2 - x - 1}{x^2 + x + 1}$.अंश का गुणनखंड करने पर: $x^2(x + 1) - 1(x + 1) = (x^2 - 1)(x + 1) = (x - 1)(x + 1)^2$.अतः, $f'(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)^2}{x^2 + x + 1}$.चूंकि $x^2 + x + 1 > 0$ और $(x + 1)^2 \ge 0$ सभी वास्तविक $x$ के लिए, $f'(x)$ का चिह्न $(x - 1)$ पर निर्भर करता है।जब $x > 1$ होता है, तो $f'(x) > 0$ होता है, इसलिए फलन $(1, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है।अतः, विकल्प $B$ सही है।

वास्तविक मान वाला फलन $f(x) = \frac{x^2}{2} - \log(x^2 + x + 1)$ है

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