સદિશો $\bar{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ અને સદિશો $\bar{b}=2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ તથા $\bar{c}=\lambda \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ ના સરવાળાની દિશામાં એકમ સદિશનો અદિશ ગુણાકાર $1$ છે,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

ત્રિકોણની બે પાસપાસેની બાજુઓ સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\sqrt{3}\hat{i} - 2\sqrt{3}\hat{j} + \sqrt{3}\hat{k}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તો ત્રિકોણનો લઘુત્તમ ખૂણો અને ત્રિકોણની પરિમિતિ અનુક્રમે છે:

ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે જેથી $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ ને લંબ છે અને $\vec{b}$ તથા $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $120^\circ$ છે. જો $\vec{a} + \vec{c}$ એ $\vec{b} + \vec{c}$ ને લંબ હોય, તો:

$\vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $\vec{b}=7 \hat{i}-5 \hat{j}-\hat{k}$ હોય,તો $\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો સદિશ પ્રક્ષેપ શોધો.

$a, b, c$ એ ત્રણ સદિશો છે જેથી $a + b + c = 0$,$|a| = 1, |b| = 2, |c| = 3$ થાય. તો $a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a$ ની કિંમત શોધો.

$\mathbb{R}^3$ માં એકમ સદિશો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો,$\left|\frac{\bar{a} \cdot \bar{a}}{\bar{a} \cdot \bar{b}} \cdot \frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{\bar{b} \cdot \bar{b}}\right| + |\bar{a} \times \bar{b}|^2$ ની કિંમત શોધો.