समुच्चय $\{-1, 0, 1\}$ एक गुणात्मक समूह (multiplicative group) नहीं है,क्योंकि इसमें किस नियम का पालन नहीं होता है?

एक अरिक्त समुच्चय $X$ दिया गया है,मान लीजिए $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ को $A \,^*\, B = (A - B) \cup (B - A)$,$\forall A, B \in P(X)$ के रूप में परिभाषित किया गया है। सिद्ध कीजिए कि रिक्त समुच्चय $\Phi$ संक्रिया $^*$ के लिए तत्समक है और $P(X)$ के सभी अवयव $A$,$A^{-1} = A$ के साथ व्युत्क्रमणीय हैं।

निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषाओं में से कौन सी द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है। यदि $*$ द्विआधारी संक्रिया नहीं है,तो इसका औचित्य बताइए। $Z^+$ पर,$*$ को $a * b = |a - b|$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

$R$ पर योग संक्रिया '$+$' के लिए दर्शाइए कि $-a$,$a$ का प्रतिलोम है और $a \neq 0$ के लिए गुणन संक्रिया '$\times$' के लिए $\frac{1}{a}$,$a$ का प्रतिलोम है।

सिद्ध कीजिए कि $+: R \times R \rightarrow R$ और $\times: R \times R \rightarrow R$ क्रमविनिमेय द्विआधारी संक्रियाएँ हैं,लेकिन $-: R \times R \rightarrow R$ और $\div: R_* \times R_* \rightarrow R_*$ क्रमविनिमेय नहीं हैं।

समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर नीचे दिए गए गुणन सारणी द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया $*$ पर विचार करें। $(2 \,^* \,3) \,^* \,(4 \,^* \,5)$ का मान ज्ञात कीजिए।
(संकेत: नीचे दी गई सारणी का उपयोग करें)