समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर नीचे दिए गए गुणन सारणी द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया $*$ पर विचार करें। $(2 \,^* \,3) \,^* \,(4 \,^* \,5)$ का मान ज्ञात कीजिए।
(संकेत: नीचे दी गई सारणी का उपयोग करें)

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(B) दी गई सारणी से:
$1$. $(2 \,^* \,3)$ का मान ज्ञात करें। $2$ की पंक्ति और $3$ के स्तंभ को देखने पर,हमें $(2 \,^* \,3) = 2$ प्राप्त होता है।
$2$. $(4 \,^* \,5)$ का मान ज्ञात करें। $4$ की पंक्ति और $5$ के स्तंभ को देखने पर,हमें $(4 \,^* \,5) = 4$ प्राप्त होता है।
$3$. अब,अंतिम व्यंजक की गणना करें: $(2 \,^* \,3) \,^* \,(4 \,^* \,5) = 2 \,^* \,4$।
$4$. सारणी में $2$ की पंक्ति और $4$ के स्तंभ को देखने पर,हमें $2 \,^* \,4 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतिम परिणाम $2$ है।

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दिखाइए कि योग और गुणन $R$ पर साहचर्य (associative) द्विआधारी संक्रियाएं हैं। हालांकि,घटाव $R$ पर साहचर्य नहीं है और भाग $R_*$ पर साहचर्य नहीं है।

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निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषा एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है या नहीं। यदि $*$ एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है,तो इसका औचित्य बताइए। $Z^{+}$ पर,$*$ को $a * b = a - b$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

मान लीजिए कि $*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $a * b = \frac{ab}{4}$ के रूप में परिभाषित है। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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