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Question

(B) माना $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 6a$ है। सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f(x) \leqslant 0$ होने के लिए,अंत बिंदुओं पर फलन के मान $f(1) \leqslant 0$ और $f

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$[5 - \sqrt{21}, 4 + \sqrt{15}]$

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(B) माना $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 6a$ है। सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f(x) \leqslant 0$ होने के लिए,अंत बिंदुओं पर फलन के मान $f(1) \leqslant 0$ और $f(2) \leqslant 0$ होने चाहिए।चरण $1$: $f(1) \leqslant 0$ को हल करें।$f(1) = 1 - 2a + a^2 - 6a = a^2 - 8a + 1 \leqslant 0$।$a^2 - 8a + 1 = 0$ के मूल $a = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4}}{2} = 4 \pm \sqrt{15}$ हैं।अतः,$a \in [4 - \sqrt{15}, 4 + \sqrt{15}]$ ... $(i)$।चरण $2$: $f(2) \leqslant 0$ को हल करें।$f(2) = 4 - 4a + a^2 - 6a = a^2 - 10a + 4 \leqslant 0$।$a^2 - 10a + 4 = 0$ के मूल $a = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 16}}{2} = 5 \pm \sqrt{21}$ हैं।अतः,$a \in [5 - \sqrt{21}, 5 + \sqrt{21}]$ ... $(ii)$।चरण $3$: $(i)$ और $(ii)$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें।चूँकि $5 - \sqrt{21} \approx 0.42$ और $4 - \sqrt{15} \approx 0.13$ है,इसलिए निचली सीमा $5 - \sqrt{21}$ है।चूँकि $4 + \sqrt{15} \approx 7.87$ और $5 + \sqrt{21} \approx 9.58$ है,इसलिए ऊपरी सीमा $4 + \sqrt{15}$ है।अतः,$a \in [5 - \sqrt{21}, 4 + \sqrt{15}]$।

$a$ के उन मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए $x \in [1, 2]$ के लिए $x^2 - 2ax + a^2 - 6a \leqslant 0$ हो:

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$a$ का न्यूनतम धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समीकरण $2x^{2} + (a - 10)x + \frac{33}{2} = 2a$ के मूल वास्तविक हैं।

दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
$I.$ $\frac{15}{\sqrt{x}} - \frac{9}{\sqrt{x}} = (x)^{1/2}$
$II.$ $y^{10} - (36)^{5} = 0$

यदि दिए गए समीकरण $({m^2} + 1){x^2} + 2amx + {a^2} - {b^2} = 0$ के मूल समान हैं,तो

यदि $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2(x+z-1)$ है,तो $x^{3}+y^{3}+z^{3}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि समीकरणों $ax^2 + bx + c = 0$ $(a, b, c \in R, a \ne 0)$ और $2x^2 + 3x + 4 = 0$ का एक उभयनिष्ठ मूल (common root) है,तो $a : b : c$ का मान क्या होगा?

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