निम्नलिखित आकृति में छायांकित क्षेत्र एक निश्चित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए समाधान सेट का प्रतिनिधित्व करता है। इस क्षेत्र के लिए रैखिक बाधाएं हैं:

वह बिंदु ज्ञात कीजिए जिस पर उद्देश्य फलन $Z = x + y$ का अधिकतम मान, व्यवरोधों $x + 2y \leq 70$, $2x + y \leq 95$, $x \geq 0$ और $y \geq 0$ के अंतर्गत प्राप्त होता है।

एक आदमी अपनी मोटरसाइकिल $50 \, km/h$ की गति से चलाता है। उसे पेट्रोल पर प्रति $km \, Rs. \, 2$ खर्च करने पड़ते हैं। यदि वह इसे $80 \, km/h$ की तेज गति से चलाता है,तो पेट्रोल की लागत बढ़कर प्रति $km \, Rs. \, 3$ हो जाती है। उसके पास पेट्रोल पर खर्च करने के लिए अधिकतम $Rs. \, 120$ और एक घंटे का समय है। वह अधिकतम दूरी ज्ञात करना चाहता है जिसे वह तय कर सकता है। इस समस्या को रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के रूप में व्यक्त करें।

यदि $Z = 7x + y$ है,जिसके लिए प्रतिबंध $5x + y \geq 5$,$x + y \geq 3$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ हैं,तो $Z$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

एक फैक्ट्री दो प्रकार के स्क्रू, $A$ और $B$ बनाती है। प्रत्येक प्रकार के स्क्रू के लिए दो मशीनों का उपयोग आवश्यक है, एक स्वचालित और एक हाथ से चलने वाली। स्क्रू $A$ का एक पैकेट बनाने में स्वचालित मशीन पर $4 \, \text{मिनट}$ और हाथ से चलने वाली मशीन पर $6 \, \text{मिनट}$ लगते हैं, जबकि स्क्रू $B$ का एक पैकेट बनाने में स्वचालित मशीन पर $6 \, \text{मिनट}$ और हाथ से चलने वाली मशीन पर $3 \, \text{मिनट}$ लगते हैं। प्रत्येक मशीन किसी भी दिन अधिकतम $4 \, \text{घंटे}$ के लिए उपलब्ध है। निर्माता स्क्रू $A$ के एक पैकेट पर $Rs. \, 7$ और स्क्रू $B$ के पैकेट पर $Rs. \, 10$ का लाभ कमा सकता है। यह मानते हुए कि वह अपने द्वारा बनाए गए सभी स्क्रू बेच सकता है, फैक्ट्री मालिक को अपना लाभ अधिकतम करने के लिए एक दिन में प्रत्येक प्रकार के कितने पैकेट बनाने चाहिए? अधिकतम लाभ निर्धारित करें।

$Z = x + y$ को अधिकतम करने के लिए $L$.$P$.$P$.,जो $x + y \leq 1$,$2x + 2y \geq 6$,$x \geq 0$,$y \geq 0$ के अधीन है,का: