રેખા x-y=1 અને વક્ર x^{2}=2y વચ્ચેનું લઘુત્તમ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) વક્ર અને રેખા વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર હંમેશા વક્ર પરના તે બિંદુ $P(x_0, y_0)$ આગળ હોય છે જ્યાં સ્પર્શક આપેલી રેખાને સમાંતર હોય.રેખાનું સમીકરણ $x-y=1

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Vedclass · Answer

(B) વક્ર અને રેખા વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર હંમેશા વક્ર પરના તે બિંદુ $P(x_0, y_0)$ આગળ હોય છે જ્યાં સ્પર્શક આપેલી રેખાને સમાંતર હોય.રેખાનું સમીકરણ $x-y=1$ છે,જેને $y=x-1$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m=1$ છે.વક્રનું સમીકરણ $x^2=2y$ છે,જેનો અર્થ છે $y=\frac{x^2}{2}$.કોઈપણ બિંદુ $(x_0, y_0)$ આગળ વક્રના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{x^2}{2}) = x$ દ્વારા મળે છે.સ્પર્શકનો ઢાળ રેખાના ઢાળ જેટલો લેતા,આપણને $x_0 = 1$ મળે છે.$x_0=1$ ને વક્રના સમીકરણ $y_0 = \frac{x_0^2}{2}$ માં મૂકતા,આપણને $y_0 = \frac{1^2}{2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.આમ,વક્ર પરનું બિંદુ $P(1, \frac{1}{2})$ છે.બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $Ax+By+C=0$ સુધીનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ દ્વારા મળે છે.અહીં,રેખા $x-y-1=0$ છે,તેથી $A=1, B=-1, C=-1$. બિંદુ $(1, \frac{1}{2})$ છે.લઘુત્તમ અંતર $= \left|\frac{1(1) + (-1)(\frac{1}{2}) - 1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right| = \left|\frac{1 - \frac{1}{2} - 1}{\sqrt{2}}\right| = \left|\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\right| = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

રેખા $x-y=1$ અને વક્ર $x^{2}=2y$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર .... છે.

Similar Questions

જો $lx + my + n = 0$ એ પરવલય $x^2 = y$ ને સ્પર્શક હોય,તો સ્પર્શકની શરત શું છે?

અભિલંબ પરવલય $y^2 = 4ax$ ને તે બિંદુએ મળે છે જ્યાં બિંદુનો એબ્સિસા (x-યામ) તેના ઓર્ડિનેટ (y-યામ) જેટલો હોય,તો તે બિંદુ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module