रेखाओं $r = (3i - 2j - 2k) + t(i)$ और $r = (i - j + 2k) + s(j)$ ($t$ और $s$ प्राचल हैं) के बीच की न्यूनतम दूरी है

मान लीजिए $P$,बिंदु $Q(10,-3,-1)$ से रेखा $\frac{x-3}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{-2}$ पर डाले गए लंब का पाद है। तो समकोण त्रिभुज $PQR$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए,जहाँ $R$ बिंदु $(3,-2,1)$ है।

रेखाओं $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \lambda(2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$ और $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + \mu(\hat{i})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

रेखा $L$ बिंदु $(1, 2, 3)$ से होकर गुजरती है। रेखा $\vec{r} = (-1, 3, 4) + \lambda(3, -2, 1)$ से रेखा $L$ पर स्थित किसी भी बिंदु की दूरी स्थिर है। तो रेखा $L$ किस बिंदु से होकर नहीं गुजरती है?

दर्शाइए कि रेखाएँ $\frac{x-5}{7}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{1}$ और $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ एक-दूसरे पर लंब हैं।

यदि बिंदु $B(2, 1, -3)$ की बिंदु $A(4, -2, 2)$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{c} = -4\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$ के समांतर रेखा से दूरी $x$ है, तो $x^4 + x^2 + 541 =$