(1, frac{pi}{4}) से गुजरने वाले एक वक्र के लि | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \frac{y}{x} \dots (i)$$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \dots (ii)

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$y=x\left(	an ^{-1}\left(\log \frac{e}{x}ight)ight)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2 \frac{y}{x} \dots (i)$$y = vx$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} \dots (ii)$$(ii)$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \cos^2 v \Rightarrow x \frac{dv}{dx} = -\cos^2 v$चरों को अलग करने पर: $\sec^2 v \, dv = -\frac{1}{x} \, dx$दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sec^2 v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx + C \Rightarrow 	an v = -\log |x| + C$चूंकि $v = \frac{y}{x}$,इसलिए $	an \frac{y}{x} = -\log x + C \dots (iii)$वक्र $(1, \frac{\pi}{4})$ से गुजरता है,इसलिए $	an \frac{\pi}{4} = -\log 1 + C \Rightarrow 1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$अतः,$	an \frac{y}{x} = 1 - \log x = \log e - \log x = \log \frac{e}{x}$इसलिए,$y = x 	an^{-1} \left( \log \frac{e}{x} ight)$.

$(1, \frac{\pi}{4})$ से गुजरने वाले एक वक्र के लिए $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{y}{x}-\cos ^2 \frac{y}{x}$ है,तो वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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