वक्र y=f(x) के बिंदु (x, f(x)) पर स्पर्शरेखा | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि वक्र $y=f(x)$ की स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x+1$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:$y

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$\frac{5}{6}$

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(C) दिया गया है कि वक्र $y=f(x)$ की स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 2x+1$ है।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:$y = \int (2x+1) dx = x^2 + x + c$चूंकि वक्र बिंदु $(1, 2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए समीकरण में $x=1$ और $y=2$ रखने पर:$2 = (1)^2 + 1 + c$$2 = 1 + 1 + c$$2 = 2 + c \Rightarrow c = 0$अतः,वक्र का समीकरण $y = x^2 + x$ है।वक्र,$X$-अक्ष और रेखा $x=1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल $x=0$ से $x=1$ तक का समाकलन है (क्योंकि वक्र $X$-अक्ष को $x^2+x=0$ यानी $x(x+1)=0$ पर काटता है,जिससे $x=0$ और $x=-1$ प्राप्त होता है):क्षेत्रफल $= \int_0^1 (x^2+x) dx$$= \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} ight]_0^1$$= \left( \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} ight) - (0)$$= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6} 	ext{ वर्ग इकाई}$.

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परवलय $y^2 = 8x$ और उसके नाभिलंब (latus rectum) द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल . . . . . . वर्ग इकाई है।

वक्र $y=\log x$,$x$-अक्ष और रेखाओं $x=1, x=e$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

प्रथम चतुर्थांश में स्थित $x^2=4y$,$y=1$,$y=4$ और y-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $ . . . . . . $ वर्ग इकाई है.

मान लीजिए कि परिबद्ध क्षेत्र $\{(x, y): 0 \leq 9x \leq y^2, y \geq 3x-6\}$ का क्षेत्रफल $A$ है। तो $6A$ का मान . . . . . . है।

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