frac{dy}{dx} + frac{y}{3} = 1 का हल है | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{3}$ और $Q = 1$ है।सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.

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$y = 3 + ce^{-x/3}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{3}$ और $Q = 1$ है।सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{3} dx} = e^{x/3}$.व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर:$y \cdot e^{x/3} = \int 1 \cdot e^{x/3} dx + c$.दाहिनी ओर का समाकलन करने पर:$y \cdot e^{x/3} = 3e^{x/3} + c$.दोनों पक्षों को $e^{x/3}$ से विभाजित करने पर:$y = 3 + c e^{-x/3}$.

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{3} = 1$ का हल है

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यदि $y=\sin x+A \cos x$, $\frac{dy}{dx}+f(x)y=\sec x$ का व्यापक हल है, तो अवकल समीकरण का समाकलन गुणक (Integrating Factor) क्या है?

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मान लीजिए कि $y=y(t)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dt}+\alpha y=\gamma e^{-\beta t}$ का एक हल है,जहाँ $\alpha > 0, \beta > 0$ और $\gamma > 0$ है। तब $\lim_{t \rightarrow \infty} y(t)$ है:

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