अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = -left(frac{x^2+3y^ | vedclass

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Question

(C) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2+3y^2}{3x^2+y^2}$ है।$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्

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$\log_e|x+y| + \frac{2xy}{(x+y)^2} = 0$

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(C) दिया गया समघातीय अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2+3y^2}{3x^2+y^2}$ है।$y = vx$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है।$v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+3v^2}{3+v^2}$.$x\frac{dv}{dx} = -\frac{1+3v^2}{3+v^2} - v = -\frac{1+3v^2+3v+v^3}{3+v^2} = -\frac{(v+1)^3}{3+v^2}$.चरों को पृथक करने पर: $\frac{3+v^2}{(v+1)^3} dv = -\frac{dx}{x}$.आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{3+v^2}{(v+1)^3} = \frac{1}{v+1} - \frac{2}{(v+1)^2} + \frac{4}{(v+1)^3}$.समाकलन करने पर: $\int \left(\frac{1}{v+1} - \frac{2}{(v+1)^2} + \frac{4}{(v+1)^3}\right) dv = -\int \frac{dx}{x}$.$\ln|v+1| + \frac{2}{v+1} - \frac{2}{(v+1)^2} = -\ln|x| + C$.$\ln|x(v+1)| + \frac{2v}{(v+1)^2} = C$.$v = \frac{y}{x}$ रखने पर,$\ln|x+y| + \frac{2xy}{(x+y)^2} = C$.चूँकि $y(1)=0$,अतः $\ln|1+0| + 0 = C \implies C=0$.अतः,हल $\ln|x+y| + \frac{2xy}{(x+y)^2} = 0$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -\left(\frac{x^2+3y^2}{3x^2+y^2}\right)$,$y(1)=0$ का हल है

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