अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = sin(x + y) + cos(x | vedclass

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Question

(A) माना $v = x + y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ है।समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv

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$\log |1 + 	an (\frac{x + y}{2})| = x + c$, जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है

Vedclass · Answer

(A) माना $v = x + y$ है। तब $\frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}$, अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dv}{dx} - 1$ है।समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dv}{dx} - 1 = \sin v + \cos v$।$\frac{dv}{dx} = 1 + \sin v + \cos v$।$\frac{dv}{1 + \sin v + \cos v} = dx$।अर्ध-कोण सूत्रों $\sin v = \frac{2 	an(v/2)}{1 + 	an^2(v/2)}$ और $\cos v = \frac{1 - 	an^2(v/2)}{1 + 	an^2(v/2)}$ का उपयोग करने पर:$1 + \sin v + \cos v = 1 + \frac{2 	an(v/2) + 1 - 	an^2(v/2)}{1 + 	an^2(v/2)} = \frac{2(1 + 	an(v/2))}{\sec^2(v/2)}$।अतः, $\int \frac{\sec^2(v/2) dv}{2(1 + 	an(v/2))} = \int dx$।माना $u = 1 + 	an(v/2)$, तब $du = \frac{1}{2} \sec^2(v/2) dv$ है।समाकलन $\int \frac{du}{u} = \int dx$ हो जाता है, जिससे $\log |u| = x + c$ प्राप्त होता है।मान वापस रखने पर, $\log |1 + 	an(\frac{x+y}{2})| = x + c$।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \sin(x + y) + \cos(x + y)$ का हल है

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