मान लीजिए alpha |x| = |y| e^{xy-beta},जहाँ al | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $x dy - y dx + xy(x dy + y dx) = 0$ है।$xy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{y} - \frac{dx}{x} + (x dy + y dx) = 0$ प्राप्त होत

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$4$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण $x dy - y dx + xy(x dy + y dx) = 0$ है।$xy$ से भाग देने पर,हमें $\frac{dy}{y} - \frac{dx}{x} + (x dy + y dx) = 0$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} - \int \frac{dx}{x} + \int d(xy) = \int 0$ प्राप्त होता है।यह $\ln|y| - \ln|x| + xy = C$ में सरल हो जाता है,जो $\ln|\frac{y}{x}| + xy = C$ है।चूंकि $y(1) = 2$ दिया गया है,$x=1$ और $y=2$ रखने पर:$\ln|\frac{2}{1}| + (1)(2) = C \implies C = \ln 2 + 2$.सामान्य हल में $C$ का मान रखने पर:$\ln|\frac{y}{x}| + xy = \ln 2 + 2$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $\ln|\frac{y}{x}| - \ln 2 = 2 - xy$.$\ln|\frac{y}{2x}| = -(xy - 2)$.दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $|\frac{y}{2x}| = e^{-(xy - 2)}$.$|y| = 2|x| e^{-(xy - 2)}$.$e^{xy-2}$ से गुणा करने पर: $|y| e^{xy-2} = 2|x|$.इसे दिए गए रूप $\alpha |x| = |y| e^{xy-\beta}$ के साथ तुलना करने पर,$\alpha = 2$ और $\beta = 2$ प्राप्त होता है।अतः,$\alpha + \beta = 2 + 2 = 4$.

मान लीजिए $\alpha |x| = |y| e^{xy-\beta}$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{N}$,अवकल समीकरण $x dy - y dx + xy(x dy + y dx) = 0$ का हल है,जहाँ $y(1) = 2$ है। तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{2^{x+y} - 2^{x}}{2^{y}}$ और $y(0) = 1$ है,तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

समीकरण $({e^y} + 1)\cos x \, dx + {e^y}\sin x \, dy = 0$ का व्यापक हल है

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अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = e^{x-y}$ का व्यापक हल . . . . . . है।

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