अवकल समीकरण x log x frac{dy}{dx} + y = 2 log | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ है।दोनों पक्षों को $x \log x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\frac{dy}{dx}

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$y \log x = (\log x)^2 + c$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ है।दोनों पक्षों को $x \log x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2}{x}$.यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{1}{x \log x}$ और $Q = \frac{2}{x}$ है।समाकलन गुणक $(I.F.) = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx}$.माना $\log x = t$,तो $\frac{1}{x} dx = dt$.अतः,$I.F. = e^{\int \frac{1}{t} dt} = e^{\log t} = t = \log x$.व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है।$y \log x = \int \frac{2}{x} \cdot \log x dx$.माना $\log x = u$,तो $\frac{1}{x} dx = du$.$y \log x = \int 2u du = u^2 + c$.$u = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y \log x = (\log x)^2 + c$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $x \log x \frac{dy}{dx} + y = 2 \log x$ का हल है

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अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}(x \log x) + y = 2 \log x$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) ज्ञात कीजिए।

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