अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + 2y cot x = 3x^2 cs | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (2 \cot x)y = 3x^2 \csc^2 x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 \c

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$y \sin^2 x = x^3 + c$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + (2 \cot x)y = 3x^2 \csc^2 x$ है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 \cot x$ और $Q = 3x^2 \csc^2 x$ है।सबसे पहले,हम समाकलन गुणक $(I.F.)$ ज्ञात करते हैं:$I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int 2 \cot x dx} = e^{2 \ln|\sin x|} = e^{\ln(\sin^2 x)} = \sin^2 x$.व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ द्वारा दिया जाता है।मान रखने पर:$y \cdot \sin^2 x = \int (3x^2 \csc^2 x) \cdot \sin^2 x dx$.चूँकि $\csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$,इसलिए व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:$y \sin^2 x = \int 3x^2 dx$.$3x^2$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर $x^3$ प्राप्त होता है।अतः,$y \sin^2 x = x^3 + c$।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y \cot x = 3x^2 \csc^2 x$ का हल है

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